3.4 De betrouwbaarheid van het DES model

Geldigheid van het superpositie model van 2.1

Het gehanteerde superpositie model gaat er van uit dat alle bekeken vectorgrootheden, zoals de snelheid en de versnelling, steeds  loodrecht op de beginrichting van de baansnelheid staan. Die aanname is gedaan ten behoeve van de eenvoud van het model. In feite is het zo dat de afzetkracht van de schaatser niet loodrecht op de baansnelheid staat maar elk moment  loodrecht staat op de afzetbaan van de schaats. Er kan door het glijden van de schaats immers geen kracht  langs de afzetbaan worden uitgeoefend, niet naar voren en niet naar achteren. In het hierna volgende wordt aangetoond dat ondanks deze fysische werkelijkheid, het superpositie model in al zijn eenvoud een uitstekende eerste benadering van de schaatsbeweging is.

De snelheden zijn vectoren

Dat de snelheden vectoren zijn houdt in dat ze niet alleen een bepaalde grootte hebben, maar dat ze ook in een bepaalde richting gaan.  In de afbeelding hieronder zijn de snelheden met hun betekenis weergegeven.

 

Voor de baansnelheden gelden de links weergegeven betrekkingen. Door kwadrateren van de eerste twee uitdrukkingen valt af te leiden:

Toename van de bewegingsenergie volgens het vectormodel

Kijken we naar de bewegingsenergieën dan resulteert dat in de volgende betrekking:

Wat te zien valt is dat naast de te verwachten bijdrage van de zijdelingse snelheid van het zwaartepunt aan  Δu_k  er een extra bijdrage van het vectorproduct  is, als  de verandering van de snelheid van het zwaartepunt niet loodrecht op aanvankelijke baansnelheid staat.  Dat komt doordat er dan een kleine component van de afzetkracht naar voren is, die de baansnelheid ook  iets vergroot.  De door de schaatser verrichte arbeid gaat voor een deel in deze extra bijdrage zitten. Voor niet rechte parallelle afzetbanen is  dat eigenlijk altijd wel het geval. Het lijkt er dus op dat het superpositiemodel van 2.1 in gebreke blijft  wat die extra energie bijdrage betreft, omdat daar alle snelheidsvectoren loodrecht op de voorwaartse richting genomen zijn.
De vector van de baansnelheid van het afzetpunt raakt aan de afzetbaan , terwijl de verandering van de snelheid van het zwaartepunt daar loodrecht op staat.Hiervan uitgaande kan worden aangetoond dat :

De uitdrukking voor Δu_k  gaat over in:

Het rechter lid is geldig omdat snelheidsvector van het afzetpunt en die van het zwaartepunt nagenoeg langs dezelfde lijn door afzetpunt en zwaartepunt werken, in tegengestelde richting.
Voor de volledige schaatsslag geldt voor de toename van de bewegingsenergie :

De verrichte arbeid volgens het superpositiemodel

In 2.2 wordt een uitdrukking gegeven voor de door de schaatser verrichte arbeid. Het uitgangspunt was toen de hier links weergegeven integraal voor de verrichtte arbeid.

Verdere uitwerking van deze integraal leidde tot een formule voor de arbeid waarin ondermeer  de beginplaats en de eindplaats van het afzetpunt ten opzichte van het zwaartepunt de grootte bepaalden.

In het superpositie model  kan uit de integraal ook een formule voor de arbeid worden verkregen waarin de de zijdelingse snelheden van het zwaartepunt de grootte van de arbeid bepalen.  De onderstaande afleiding laat zien hoé.

Het resultaat voor de volledige schaatsslag is hieronder weergegeven.

Daarbij werd dus ook aangenomen dat v_A en dv_z in tegengestelde richting werken.

Het is duidelijk dat de formules van het superpositiemodel voor arbeid en van het vectormodel voor toename van bewegingsenergie, de grootst mogelijke overeenkomst vertonen. Waarmee aangetoond lijkt dat het superpositiemodel een uitstekende benadering is voor de schaatsbeweging, omdat de extra energiebijdrage ook daarin is opgenomen.

Grootteverschil ten gevolge van projectie

Eén aspect moet hier nog in ogenschouw  genomen worden.  In het superpositiemodel wordt er eigenlijk gekeken naar de projecties van afstanden, verplaatsingen, snelheden en versnellingen op een lijn die loodrecht staat op de voortbewegingsrichting aan het begin van de slag.  In het rekenvoorbeeld hierna wordt bekeken hoe groot de afwijkingen tussen vector en projectie  in de praktijk ongeveer zal zijn. Als voorbeeld nemen we de onderlinge afstand tussen het zwaartepunt Z en het afzetpunt A, de afstand x_O .

Normale waarden bij het wedstrijdschaatsen  zijn v_bo  = 12 m/s en v_A = 1 m/s maximaal. Daaruit volgt dat sinγ = 1/12 maximaal en dan is cosγ =√ (143/144) ≈0,997 minimaal. Alle in de figuur aangegeven hoeken zijn even groot.  De projectie van  x_O is  x’_O en er geldt  x’_O =  x_O cosγ ≈ 0,997∙ x_O. De in het superpositiemodel gebruikte waarde x’_O  verschilt maximaal dus maar ≈0,3 % van de waarde van  x_O, de waarde die we in het vectormodel gebruiken.

De projectie van bijv. Δv_z is gelijk aan Δv_z ∙cosγ≈ 0,997∙ Δv_z. En dus is de waarde van de projectie van  Δv_z  ook maar maximaal 0,3 % kleiner dan de waarde  van Δv_z  zelf.  Voor alle grootheden van het superpositiemodel geldt dat de afwijking van de projectiewaarde  maximaal in de orde van grootte van0,3%  is, vergeleken met de waarde van de overeenkomstige vectoren in het vectormodel. Dat wil zeggen dat deze verschillen verwaarloosbaar zijn.

In dit voorbeeld geldt  γ≈5⁰ maximaal, dus de vectoren maken een hoek van ca. 5⁰ maximaal met de projectielijn. Deze hoekgrootte is niet verwaarloosbaar groot, maar gelukkig is het effect ervan op de zijdelingse grootheden minimaal.

Eindconclusie

De uiteindelijke conclusie is dan ook dat het superpositiemodel een uitstekende benadering is van het schaatsprobleem. De eenvoud van het model  is  geen belemmering om tot betrouwbare resultaten te komen.